22 March 2010

龐加萊猜想(Poincare Conjecture)

明報2010322 (節錄)


天才數學隱士佩雷爾曼(Grigori Perelman)幾年前破解了全球數學家百年來束手無策的 龐加萊猜想Poincare Conjecture),被喻世上最聰明的人。但他從此隱姓埋名,放棄領獎,寧可與母親過窮苦日子。

2000年,美國克雷數學研究所懸賞700萬美元,希望有人解開新千禧年七大數學難題,龐加萊猜想是其中之一。及至20103,研究所終公布,700萬美元獎金中的第一項100萬獎金,終於有首位得主,他就是現年44歲的俄籍數學家佩雷爾曼。

200203年間,佩雷爾曼在互聯網上張貼了幾頁簡短論文,破解了龐加萊猜想,引來數學界轟動。接下來的幾年,全球許多著名數學家努力驗證或補充佩雷爾曼的論文,承認他破解了難題。佩雷爾曼曾一度應邀赴美國麻省理工學院、普林斯頓大學等與同行切磋,但之後就銷聲匿迹,不露面也不接受訪問。

2006年,佩雷爾曼因成功破解這難題,獲頒全球數學界最高殊榮菲爾茲獎,但他沒有出現,成為首位不接受此殊榮的人。迄今他仍不打算將其破解龐加萊猜想的解答,正式在科學期刊上發表。由於在權威期刊發表,是獲得克雷數學研究所100萬獎金的條件之一,因此外界曾猜測,佩雷爾曼不會得到研究所的獎賞,但迄今為止眾多數學家對其簡短論文的肯定,根本已毋須再在權威期刊發表以確認成果,研究所同意可以修改獲獎條件。儘管結果已公布,但佩雷爾曼會領獎嗎?克雷數學研究所的所長卡爾森僅向外界說:「他會在到期前讓我們知道。」他透露已聯絡上佩雷爾曼,但拒絕透露更多詳情。該研究所今年6月將與龐加萊研究所,在巴黎舉辦一場會議,慶祝龐加萊猜想得以破解。

龐加萊猜想由法國 數學家龐加萊在1904年提出。龐加萊猜想的本質,就是提出,任何一個三維空間,只要是沒有孔洞的,它就必然是一個球體;換句話來說,在一個封閉三維空間,假如每條封閉的曲線都能收縮成一點,這個空間一定是一個圓球。龐加萊猜想雖只是短短的幾行字,但卻困擾了數學界近100年,多年來都無法被證明。

同樣研究龐加萊猜想的中國數學家丘成桐,曾建議以地球作幻想。若我們用一條長繩圍繞地球表面,像繞毛線般繞圈,繞完後,讓繩子貼緊地球表面,慢慢收縮到某一點上。可以成功收縮成為一點的,就是個三維圓球。相反若以一條繩子圍繞一個杯子,由於有杯柄的阻礙,繩子就不能在貼緊杯面的情况下收縮到某一點,它就不是一個三維圓體。